Question

高数 同济五版 21页 第四题设映射F：X→Y,若存在一个映射G：X→Y,使G.F=Ix,F.G＝Iy,其中Ix和Iy分

Answer 1

G：Y→X

因为G.F=Ix

所以F为单射,否则

x1!=x2

y=f(x1)=f(x2)

则x1=g(y)=x2

矛盾

G为满射,否则

存在x0 s.t.不存在g(y0)=x0

则与g.f(x0)=x0矛盾（取y0=f(x0)）

同理 因为F.G＝Iy

所以G是单射

F是满射

所以f,g都是双射

由逆映射定义可知 若f.g(y)=y g.f(x)=x,则f和g互为逆映射