Question

高数积分证明题设f(x)在[-a,a]上二阶导函数连续,(a>0),且f(0)=0,证明：在[-a,a]上至少存在一点c

Answer 1

要用到泰勒公式和积分中值定理：

f(x)

=f(0)+f'(0)x+[f''(θ)/2]x^2

=f'(0)x+[f''(θ)/2]x^2

对上式在区间[-a,a]上作定积分

∫(a~-a)f(x)dx

=f'(0)∫(a~-a)xdx+∫(a~-a)[f''(θ)/2]x^2dx

到这一步一定要注意：θ是关于x的一个变量

∵x^2在区间[-a,a]上不变号,f''(θ)/2是[-a,a]上有界函数

f''(θ)/2∈[m/2,M/2]

∴利用积分中值定理

→接上面的等号：

=[ξ/2]∫(a~-a)x^2dx【ξ∈[m,M]】

=[f''(c)/2]∫(a~-a)x^2dx

=[f''(c)/2][2a^3/3]

=f''(c)a^3/3

∴在[-a,a]上至少存在一点c,使得a^3f''(c)=3∫(a~-a)f(x)dx