Question

已知函数f（x）=xlnx（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由原函数的解析式，我们易求出函数的导函数，进而根据导函数的零点对函数的定义域进行分段讨论后，即可得到答案．

（Ⅱ）由f'（x）=lnx+1，知f（x）=xlnx在（x₀，x₀lnx₀）处的切线方程为y-x₀lnx₀=（lnx₀+1）（x-x₀），由切线l过点（0，-1），解得x₀=1，由此能求出直线l的方程．

（Ⅰ）f'（x）=lnx+1，x∈（0，+∞）

又∵当f'（x）=lnx+1=0，得x=[1/e]，如下表

∴f（x）在（0，[1/e]）上单调递减，在（ [1/e]，+∞）上单调递增，在x=[1/e]处取得极小值，

且极小值为f（[1/e]）=-[1/e]．

（Ⅱ）∵f'（x）=lnx+1，

∴f（x）=xlnx在（x₀，x₀lnx₀）处的切线方程为y-x₀lnx₀=（lnx₀+1）（x-x₀），

∵切线l过点（0，-1），

∴-1-x₀lnx₀=（lnx₀+1）（-x₀），

解得x₀=1，

∴直线l的方程为：y=x-1．

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查曲线的切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的合理运用．