Question

已知函数f（x）=xlnx．（1）求函数f（x）的极值点；（2）设函数g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函

Answer 1

解题思路：（1）由已知得f′（x）=lnx+1，x＞0，由f′（x）=0，得x=[1/e]，由此利用导数性质能求出函数f（x）的极值点．

（2）由已知得g′（x）=lnx+1-a，由g′（x）=0时，x=e^a-1．由此利用分类讨论思想和导数性质能求出函数g（x）在[1，e]上的最小值．

（1）∵f（x）=xlnx，

∴f′（x）=lnx+1，x＞0，

由f′（x）=0，得x=[1/e]，

x∈（0，[1/e]）时，f′（x）＜0；x∈（[1/e]，+∞）时，f′（x）＜0，

∴f（x）_极小值=f（[1/e]）=[1/eln

1

e]=-[1/e]．

（2）∵f（x）=xlnx，

∴g（x）=f（x）-a（x-1）=xlnx-a（x-1），

∴g′（x）=lnx+1-a，

∴g′（x）=0时，x=e^a-1．

∴①当e^a-1＜1时，即a＜1时，

g（x）在[1，e]上单调递增，故在x=1处取得最小值为0；

②当1≤e a−1≤e时，即0≤a≤1时，

g（x）在[1，e]内，当x=e^a-1取最小值为：

e^a-1（a-1）-ae^a-1+a=a-e^a-1；

③当c^a-1＞e时，即a＞1时，

g（x）在[1，e]内单调递减，

故在x=e处取得最小值为e-a（e-1）=（1-a）e+1．

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查函数极值点的求法，考查函数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．