解题思路：根据三角函数的和差化积把已知条件化简得到两个式子，然后把两式相除得到[α+β/2]的正切值，然后把所求的式子利用二倍角公式化简，代入即可求出值．
由sinα+sinβ＝
1
4，得2sin
α+β
2cos
α−β
2＝
1
4，
由cosα+cosβ＝
1
3，得2cos
α+β
2cos
α−β
2＝
1
3，
两式相除，得tan
α+β
2＝
3
4，
则tan(α+β)＝
2tan
α+β
2
1−tan2
α+β
2＝
2×
3
4
1−(
3
4)2＝
24
7
故答案为：[24/7]
点评：
本题考点： 三角函数的和差化积公式．
考点点评： 考查学生灵活运用三角函数的和差化积公式化简求值，灵活运用二倍角的正切函数公式化简求值，学生做题时应利用整体代入的方法求值．