Question

F(X)是可微函数,满足F(x)=e的x次方+S 0到X F（t）dt,则F（X）的表达式为?S为积分符号

Answer 1

F(X)是可微函数,

那么函数F（X）是连续函数,可以对其求导函数

F(x)=e^x+S 0到x F（t）dt

等式两边同时对X求导数,

那么

F'(x)=e^x+F(x)

令F(X)=y,y-y'=-e^x

这是个一阶线性非齐次方程,那么先解y-y'=0

分离变量：dy/y＝dx

两边积分：lny＝x＋lnC,得线性齐次方程的通解为y＝Ce^x.

设y＝C(x)e^(x)是线性非齐次方程的解,代入原方程

C(x)e^(x)-C'(x)e^x-C(x)e^x=-e^x

C'(x)e^x=e^x

C'(x)=1

C(X)=X+C

所以通解为y=（x+c）e^x

就是F（x）=（x+c）e^x,c是常数