Question

设A是m*n矩阵,B是n*m矩阵,证明:若r(A)=n,则r(AB)=r(B).

Answer 1

显然齐次线性方程组 BX=0 的解都是 ABX=0 的解

对 ABX=0 的任一解 X0

A(BX0)=0

由于 r(A)=n,齐次线性方程组 AX=0 只有零解

所以 BX0=0

所以 ABX=0 的解都是 BX=0 的解

故 ABX=0 与 BX=0 同解

所以 m-r(AB)=m-r(B)

所以 r(AB)=r(B)