Question

求二元函数z=x2+4y2+9在区域x2+y2≤4的最大值、最小值．

Answer 1

解题思路：首先求函数在区域内部的可疑极值点，然后化简函数求其区域边界上的可疑极值点，综合比较所得出的极值和最值点，得到最大值和最小值．

解 由z=x²+4y²+9，得z_x=2x，z_y=8y，

令z_x=z_y=0，得驻点（0，0），

在闭区域D上由驻点（0，0），计算z（0，0）=9

在闭区域D的边界x²+y²=4上，有

z=x²+4y²+9=x²+4（4-x²）+9=25-3x²，其中x∈[-2，2]

则在边界上最大值为25，最小值13

故在闭区域D上最大值为25，最小值为9

点评：

本题考点： 多元函数的最大值和最小值的求解．

考点点评： 此题考查多元函数极值点的求法和条件极值法，要注意边界上的极值和最值．此题由于函数比较简单，故在边界上没有使用拉格朗日乘数法求条件极值．