定义在R+上的函数f（x）满足： - 知识问答

定义在R+上的函数f（x）满足：

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解题思路：令t=x^b，则b=log_xt，可得log_xt=
f(t)
f(x)
，进而根据方程f（mx）•f（mx²）=4f²（a）的所有解大于1，我们可以得到2log_a²x+3log_am•log_ax+log_a²m-4=0的所有解大于1，令u=log_ax，则u²x+3log_am•u+log_a²m-4=0的所有解大于0，结合韦达定理，可以构造一个关于m的不等式组，解不等式组，即可得到答案．
令t=x^b，则b=log_xt，
则f（t）=log_xt•f（x）
即log_xt=
f(t)
f(x)
若f（mx）•f（mx²）=4f²（a）的所有解大于1，
则
f(mx)
f(a)•
f(mx 2)
f(a)−4＝0的所有解大于1，
即log_a（mx）•log_a（mx²）-4=0的所有解大于1，
即2log_a²x+3log_am•log_ax+log_a²m-4=0的所有解大于1，
令u=log_ax，由a＞1，
则u²x+3log_am•u+log_a²m-4=0的所有解大于0
由韦达定理可得
log am＜0
log
2am−4＞0
解得：0＜m≤
1
a
2
故m的取值范围为（0，
1
a
2 ]
点评：
本题考点：函数与方程的综合运用．
考点点评：本题考查的知识点是函数与议程的综合应用，抽象函数的应用，其中根据已知条件，得到logxt=f(t)f(x)，从而将抽象问题具体化，是解答本题的关键．

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