三角学中的积化和差公式和和差化积公式

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  • 和差化积公式

    ⒎三角函数的和差化积公式

    α+β α-β

    sinα+sinβ=2sin—----·cos—---

    2 2

    α+β α-β

    sinα-sinβ=2cos—----·sin—----

    2 2

    α+β α-β

    cosα+cosβ=2cos—-----·cos—-----

    2 2

    α+β α-β

    cosα-cosβ=-2sin—-----·sin—-----

    2 2

    积化和差公式

    ⒏三角函数的积化和差公式

    sinα ·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]

    cosα ·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]

    cosα ·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]

    sinα ·sinβ=- 0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]

    和差化积公式推导

    附推导:

    首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

    我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

    所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

    同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

    同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

    所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

    所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

    同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

    这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

    sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

    cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

    cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

    sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

    好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

    我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

    把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

    sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

    sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

    cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

    cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)