某人玩硬币走跳棋的游戏,已知硬币出现正、反面的概率都是[1/2].棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站.一枚

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  • 解题思路:(I)棋子在0站是一个必然事件,得到发生的概率等于1,掷出朝上的点数为1或2,棋子向前跳一站;若掷出其余点数,则棋子向前跳两站,根据正方体各个面出现的概率得到结果.

    (II)由题意知连续三项之间的关系,根据得到的关系式,仿写一个关系式,两个式子相减,构造一个新数列是连续两项之比是一个常数,得到等比数列.

    (III)写出所有的式子,把所有的式子相加,利用累加的方法消去中间项得到首项和末项之间的关系,得到玩该游戏获胜的概率.

    (Ⅰ)依题意,得P0=1,P1=

    1

    2,P2=

    1

    2+

    1

    1

    2=[3/4]

    (Ⅱ) 依题意,棋子跳到第n站(2≤n≤99)有两种可能:

    第一种,棋子先到第n-2站,又掷出反面,其概率为[1/2Pn−2;

    第二种,棋子先到第n-1站,又掷出正面,其概率为

    1

    2Pn−1;

    ∴Pn=

    1

    2

    P n−1+

    1

    2

    P n−2]

    ∴Pn−Pn−1=

    1

    2Pn−1+

    1

    2Pn−2−Pn−1=−

    1

    2Pn−1+

    1

    2Pn−2

    即Pn−Pn−1=−(

    1

    2Pn−1−

    1

    2Pn−2)(2≤n≤99)

    (Ⅲ) 由(II)可知,数列{Pn-Pn-1}(1≤n≤99)是首项为P1−P0=−

    1

    2,

    公比为[1/2]的等比数列,

    于是,有P99=P0+(P1-P0)+(P2-P1)+(P3-P2)+…+(P99-P98)=1+(−

    1

    2)+(−

    1

    2)2+(−

    1

    2)3+…+(−

    1

    2)99=

    2

    3[1−(

    1

    2)100]

    因此,玩该游戏获胜的概率为

    2

    3[1−(

    1

    2)100].

    点评:

    本题考点: 等可能事件的概率.

    考点点评: 本题考查概率的实际应用,是一个中档题目,题目涉及到概率的计算,本题解题的关键是看出题目中要利用累加的方法.