解题思路:(I)棋子在0站是一个必然事件,得到发生的概率等于1,掷出朝上的点数为1或2,棋子向前跳一站;若掷出其余点数,则棋子向前跳两站,根据正方体各个面出现的概率得到结果.
(II)由题意知连续三项之间的关系,根据得到的关系式,仿写一个关系式,两个式子相减,构造一个新数列是连续两项之比是一个常数,得到等比数列.
(III)写出所有的式子,把所有的式子相加,利用累加的方法消去中间项得到首项和末项之间的关系,得到玩该游戏获胜的概率.
(Ⅰ)依题意,得P0=1,P1=
1
2,P2=
1
2+
1
2×
1
2=[3/4]
(Ⅱ) 依题意,棋子跳到第n站(2≤n≤99)有两种可能:
第一种,棋子先到第n-2站,又掷出反面,其概率为[1/2Pn−2;
第二种,棋子先到第n-1站,又掷出正面,其概率为
1
2Pn−1;
∴Pn=
1
2
P n−1+
1
2
P n−2]
∴Pn−Pn−1=
1
2Pn−1+
1
2Pn−2−Pn−1=−
1
2Pn−1+
1
2Pn−2
即Pn−Pn−1=−(
1
2Pn−1−
1
2Pn−2)(2≤n≤99)
(Ⅲ) 由(II)可知,数列{Pn-Pn-1}(1≤n≤99)是首项为P1−P0=−
1
2,
公比为[1/2]的等比数列,
于是,有P99=P0+(P1-P0)+(P2-P1)+(P3-P2)+…+(P99-P98)=1+(−
1
2)+(−
1
2)2+(−
1
2)3+…+(−
1
2)99=
2
3[1−(
1
2)100]
因此,玩该游戏获胜的概率为
2
3[1−(
1
2)100].
点评:
本题考点: 等可能事件的概率.
考点点评: 本题考查概率的实际应用,是一个中档题目,题目涉及到概率的计算,本题解题的关键是看出题目中要利用累加的方法.