高中数学的直线与方程的有关知识

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  • 直线与方程

    (1)直线的倾斜角

    定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°

    (2)直线的斜率

    ①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即(参见图一) .斜率反映直线与轴的倾斜程度.

    当(参见图二)时,k>=0 ;当(参见图三) 时,k< 0 ;当(参见图三)时, k不存在.

    ②过两点的直线的斜率公式:(参见图五)

    注意下面四点:(1)当 x1=x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.

    (3)直线方程

    ① 点斜式: y - y1 = k(x - x1) 直线斜率k,且过点 (x1,y1)

    注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.

    当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.

    ② 斜截式:y = kx+b ,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b

    ③ 两点式: (参见图六) 直线过两点(x1,y1)(x2,y2) ,

    ④ 截矩式:(参见图七)其中直线l 与 x轴交于点(a,0) ,与y 轴交于点(0,b) ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为a,b .

    ⑤ 一般式:Ax + By + C = 0 (A,B不全为0)

    注意:

    1 各式的适用范围

    2 特殊的方程如:

    平行于x轴的直线:y = b (b为常数);平行于y轴的直线:x=a (a为常数);

    (4)直线系方程:即具有某一共同性质的直线

    ① 平行直线系平行于已知直线 (A0,B0是不全为0的常数)的直线系:A0x+B0y+C0 = 0(C为常数)

    ② 过定点的直线系

    (ⅰ)斜率为k的直线系:y-y0 = k(x-x0) ,直线过定点(x0,y0) ;

    (ⅱ)过两条直线 l1: A1x+B1y+C1 = 0,l2: A2x+B2y+C2 = 0 的交点的直线系方程为 (A1x+B1y+C1) + E(A2x+B2y+C2) = 0 (E为参数),其中直线l2 不在直线系中.

    (5)两平行直线距离公式

    在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解.

    (6)两直线平行与垂直

    当 l1: y=k1x+b1,l2: y=k2x+b2 时,(参见图八)

    注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否.

    (7)两条直线的交点

    l1: A1x+B1y+C1 = 0,l2: A2x+B2y+C2 = 0相交

    交点坐标即方程组 的一组解.

    方程组无解 (参见图十) ;方程组有无数解l1 与 l2 重合

    (8)两点间距离公式:设 A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系中的两个点,

    则(参见图十一)

    (9)点到直线距离公式:一点P(x0,y0) 到直线l1:Ax+By+C=0 的距离

    (参见图十二)