Question

已知定义域为R的函数 f(x)= 3 x +b 3 x +a 是奇函数．

Answer 1

方法一：

（1）由定义在R上的函数 f(x)=

3 x +b

3 x +a 是奇函数得对一切x∈R，f（x）+f（-x）=0恒成立

即

3 x +b

3 x +a +

3 -x +b

3 -x +a =0 即

3 x +b

3 x +a +

b• 3 x +1

1+a• 3 x =0 ，

整理得（a+b）（3 ^x） ²+（ab+1）3 ^x+a+b=0对任意x∈R恒成立，

故

a+b=0

ab+1=0 ，解得

a=1

b=-1 或

a=-1

b=1 ，

又因为函数的定义域为R，故a=1，b=-1．

方法二：由题意可知f（0）=0，即1+b=0，b=-1，此时 f(x)=

3 x -1

3 x +a ，

又由f（1）+f（-1）=0得a=1，此时 f(x)=

3 x -1

3 x +1 ，经检验满足f（-x）=-f（x）符合题意．

（2）由 f(x)=

3 x -1

3 x +1 得 f′(x)=

3 x ln3( 3 x +1)-( 3 x -1) 3 x ln3

( 3 x +1) 2 =

2• 3 x ln3

( 3 x +1) 2 ＞0 恒成立，

故函数y=f（x）在R上为增函数．

（3）函数y=f（x）为奇函数且在R上为增函数

由f（2t ²+4t）+f（k-t ²）＜0得f（2t ²+4t）＜-f（k-t ²）2t ²+4t＜t ²-k（12分）-k＞t ²+4t=（t+2） ²-4对一切x∈[-3，3]恒成立

所以-k＞{（t+2） ²-4} _max，x∈[-3，3]，-k＞21，∴实数k的取值范围是k＜-21．