我已经能证明有无数个8k+1或8k+3的质数,但单纯的8k+1还很难,我先把过程给你,希望我的工作能带动你继续在数论海洋继续前行.
对8k+1或8k+3有无限 质数的证明
（我不知道你的水平,所以会讲得很细,把预备知识也证明一下吧,如果懂的可以不看）
首先让我们一起回顾下平方剩余的概念.
若对于质数p,当1≤a≤p-1（a为整数）,若a^2≡b(mod p),0≤b≤p-1,则称b为模p的平方剩余.
证明：p有且仅有(p-1)/2个平方剩余.
首先〖(p-a)〗^2=p^2-2p+a^2≡a^2 (mod p),所以（p-a）和a的平方模p的剩余一样大.另外设1≤c≤p-1,而c^2≡a^2 (mod p),即（c+a）(c-a)≡0(mod p)则c+a=p,或c=a,故可见当a和c不等且a与c均大于等于1小于等于(p-1)/2 时,a和c的平方模p的剩余不等,则p有且仅有(p-1)/2个平方剩余成立.
后是证明：当a为p的平方剩余时,a^((p-1)/2)≡1（mod p).
因为由费马小定理可以知道a^(p-1)≡1(mod p),则对a^(p-1) 开平方,得到a^((p-1)/2)≡±1(mod p).
若a为p的平方剩余,则必定有b^2≡a(mod p)有解,而b^(p-1)≡1(mod p),则有a^((p-1)/2)≡1（mod p）.
然后我们要引用工具勒让德符号(a/p),表示a 是否为p的平方剩余,如果是,(a/p)=1,如果不是(a/p)=-1.满足运算律(ab/p)=(a/p)(b/p).要证明的话吧d(a/p)等价于a^((p-1)/2)模p的剩余,就很容易了.
证明：当((-1)/p)=1时,p模4剩1.
若p=4m+1,则(p-1)/2=2m,则 p的某个原根g必有g^(2*(p-1)/2)≡1(mod p),而g^((p-1)/2)≡-1(mod p).所以g^2m=(〖g^m)〗^2≡-1(mod p).
而当p=4m+3,(p-1)^((p-1)/2)≡（-1）^(2m+1) (mod p)≡-1（mod p）,则((-1)/p)=1不成立.
证明（2/p)=1时,p=8m+1或8m+7.
令p=8m+1,2*4*6*……*（8m-2）*(8m)=(4m)!*2^((p-1)/2)=2*4*6*……*4m*[(p-1)*(p-3)*……*(p-4m+1)≡(4m)!(-1)^2m (mod p),所以2^((p-1)/2)≡1(mod p),2为p的平方剩余.用类似方法可证明（2/p)=1时,p=8m+1或8m+7.（2/p)=-1时,p=8m+3或8m+5.
然后进入正题,证明有无数个8k+1类型的质数.
令y=〖[2（p1*p2*p3*……*pr）]〗^2+2.（p1到pr均为质数）
对y进行质因数分解y=2(〖q1〗^a1*〖q2〗^a2*……*qn^an)（其中q为奇质数,a为对应方幂）.
则有〖[2(p1*p2*……*pr)]〗^2≡-2(mod q)有解（q在q1到qn内取）.故（(-2)/q)=1.而只有q=8k+3或8k+1时符合.当p取无数多个时,8k+3与8k+1类型质数可以求出无限个.
但是单纯证明仅8k+1我的水平还不够,希望能对你有所帮助.