Question

已知函数f（x）=e xlnx ．

Answer 1

（1）定义域为（0，+∞），由f′（x）=e ^xlnx（lnx+1），

令 f ′ (x)＞0，解得x＞

1

e ；令 f ′ (x)＜0，解得0＜x＜

1

e ．

故f（x）的增区间： (

1

e ，+∞) ，减区间： (0，

1

e ) ，

（2）即证： (x+1)ln(x+1)＞2x-1⇔ln(x+1)＞

2x-1

x+1 ⇔ln(x+1)-

2x-1

x+1 ＞0

令 g(x)=ln(x+1)-

2x-1

x+1 ，由 g ′ (x)=

1

x+1 -

3

(x+1) 2 =

x-2

(x+1) 2 ，

令g′（x）=0，得x=2，且g（x）在（0，2）↓，在（2，+∞）↑，所以g（x） _min=g（2）=ln3-1，

故当x＞0时，有g（x）≥g（2）=ln3-1＞0得证，

（3）由（2）得 ln(x+1)＞

2x-1

x+1 ，即 ln(x+1)＞2-

3

x+1 ，

所以 ln[k(k+1)+1]＞2-

3

k(k+1)+1 ＞2-

3

k(k+1) ，

则：ln（1×2+1）+ln（2×3+1）+…+ln[（n（n+1）]+1 ＞(2-

3

1×2 )+(2-

3

2×3 )+…+[2-

3

n(n+1) ] = 2n-3+

3

n+1 ＞2n-3 ．