Question

若方程x2-2x-m+1=0没有实数根，求证：方程x2-（2m-1）x+m2-2=0有两个不相等的实数根．

Answer 1

解题思路：由于方程x²-2x-m+1=0没有实数根，根据判别式的意义得到（-2）2-4×1×（-m+1）＜0，解得m＜0，再计算x²-（2m-1）x+m²-2=0的根的判别式得到△=-4m+8，利用m＜0可判断△＞0，然后根据判别式的意义即可得到结论．

证明：∵方程x²-2x-m+1=0没有实数根，

∴（-2）2-4×1×（-m+1）＜0，

解得m＜0，

x²-（2m-1）x+m²-2=0的根的判别式△=（2m-1）²-4（m²-2）

=-4m+8，

∵m＜0，

∴-4m+8＜0，即△＞0，

∴方程x²-（2m-1）x+m²-2=0有两个不相等的实数根．

点评：

本题考点： 根的判别式．

考点点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．