Question

设f（x）=[2x/x+2]，x1=1，xn=f（xn-1）（n≥2，n∈N+）．

Answer 1

解题思路：（1）利用f（x）=[2x/x+2]，x₁=1，x_n=f（x_n-1），代入计算，可得x₂，x₃，x₄，x₅的值；

（2）归纳{x_n}的通项公式，用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，已知结论成立，第二步，先假设n=k时结论成立，利用此假设结合题设条件证明当n=k+1时，结论也成立即可．

（1）∵f（x）=[2x/x+2]，x₁=1，

∴x₂=f（x₁）=[2/3]，x₃=f（x₂）=[2/4]，x₄=f（x₃）=[2/5]，x₅=f（x₄）=[2/6]；

（2）猜想x_n=[2/n+1]，

用数学归纳法证明：

①n=1时，结论成立；

②假设n=k时结论成立，即x_k=[2/k+1]，则

x_k+1=

2xk

xk+2=[2

(k+1)+1

所以，当n=k+1时公式也成立．…（11分）

由①②知，x_n=

2/n+1]成立．….12

点评：

本题考点： 数学归纳法．

考点点评： 本题考查数列的函数特性，考查考查了数学归纳法，数学归纳法的基本形式：

设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n0）成立（奠基）

2°假设P（k）成立（k≥n0），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n0的自然数n都成立