Question

已知函数f（x）=x2-4，设曲线y=f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与X轴的交点为（xn+1，0）（n∈N*，

Answer 1

解题思路：（1）先对函数f（x）=x2-4进行求导，进而可得到过曲线上点（x0，f（x0））的切线方程，然后令y=0得到关系式xn2+4=2xnxn+1，整理即可得到答案．（2）首先确定xn+1+2xn+1−2=(xn+2)2(xn−2)2，再利用条件，即可得到数列{an}是以lg3为首项，2为公比的等比数列，从而可求数列{xn}的通项公式．

（1）由题可得f′（x）=2x

所以过曲线上点（x₀，f（x₀））的切线方程为y-f（x_n）=f′（x_n）（x-x_n），

即y-（x_n-4）=2x_n（x-x_n）

令y=0，得-（x_n²-4）=2x_n（x_n+1-x_n），即x_n²+4=2x_nx_n+1

显然x_n≠0，∴x_n+1=

xn

2+[2

xn

（2）由x_n+1=

xn/2]+

2

xn 知x_n+1+2=

(xn+2)2

2xn，x_n+1-2=

(xn−2)2

2xn

∴

xn+1+2

xn+1−2=

(xn+2)2

(xn−2)2

∴a_n+1=lg

xn+1+2

xn+1−2=2lg

xn+2

xn−2，即a_n+1=2a_n，其中a₁=lg3≠0

∴数列{a_n}是以lg3为首项，2为公比的等比数列，

∴a_n=2^n-1lg3，即lg

xn+2

xn−2=2^n-1lg3，

∴

xn+2

xn−2＝32n−1

∴xn＝

2(32n−1+1)

32n−1−1．

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；等比数列的通项公式；等比关系的确定．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线，以及导数的几何意义，考查等比数列的判定，考查学生的计算能力，属于中档题．