Question

已知曲线f（x）=xn+1（n∈N*）与直线x=1交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，

Answer 1

解题思路：由f′（x）=（n+1）xⁿ，知k=f′（x）=n+1，故点P（1，1）处的切线方程为：y-1=（n+1）（x-1），令y=0，得x_n=[n/n+1]，由此能求出log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄的值

f′（x）=（n+1）xⁿ，

k=f′（x）=n+1，

点P（1，1）处的切线方程为：y-1=（n+1）（x-1），

令y=0得，x=1-[1/n+1]=[n/n+1]，

即x_n=[n/n+1]，

∴x₁×x₂×…×x₂₀₁₅=[1/2]×[2/3]×[3/4]×…×[2014/2015]=[1/2015]，

则log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄=log₂₀₁₅（x₁×x₂×…×x₂₀₁₅）

=log₂₀₁₅[1/2015]=-1．

故答案为：-1；

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；对数的运算性质．

考点点评： 本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．