Question

已知抛物线C1：y1=a（x-1）2+k1（a≠0）交x轴于点（0，0）和点A1（b1，0），抛物线C2：y2=a（x-

Answer 1

解题思路：（1）根据抛物线C1：y1=a（x-1）2+k1（a≠0）交x轴于点（0，0），对称轴为直线x=1，可得抛物线与x轴的另一个交点，进一步得到b1的值；（2）由与（1）相同的方法可得bn=2n，则An-1An=bn-bn-1可求；（3）①由（1）同样的方法可知，k3=-16a，k4=-64a，按此规律可知，kn与a、n的数量关系；②根据抛物线族的顶点坐标S和T之间的关系即可求解．

（1）∵抛物线C₁：y₁=a（x-1）²+k₁（a≠0）交x轴于点（0，0），对称轴为直线x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），

∴b₁=2．

（2）由与（1）相同的方法可得b₂=4，b₃=8，b₄=16，

按此规律可得b_n=2ⁿ，

∴A_n-1A_n=b_n-b_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1．

（3）①k_n与a、n的数量关系为：k_n=-4^n-1a，理由如下：

由（1）将（0，0）代入y₁=a（x-1）²+k₁，可得k₁=-a，

∵b₁=2，

∴C₂：y₂=a（x-b₁）²+k₂可化为C₂：y₂=a（x-2）²+k₂，

∵抛物线C₂：y₂=a（x-2）²+k₂交x轴与点（0，0），

∴0=a（0-2）²+k₂，

∴4a+k₂=0，即k₂=-4a．

用同样的方法可知，k₃=-16a，k₄=-64a，

按此规律可知，k_n与a、n的数量关系为：k_n=-4^n-1a．

②抛物线族的顶点坐标S和T所满足的函数关系式为：S=-aT²（T≥0）．

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 考查了二次函数综合题，主要利用了二次函数的对称性，以及顶点坐标，要结合图形进行分析．