Question

求最大的正整数k使得存在正整数n满足2^k整除3^n+1

Answer 1

当K=2时,取n=1,符合题意.

下面证明K≥3时,不存在这样的n.

考虑3^n+1除以8的余数.

当n为奇数时,令n=2m+1

则3^n+1=3^（2m+1）+1

=3x9^m+1

因为9的任何次方除以8皆余1,

所以3^n+1除以8余4,不能被8整除.

当n为偶数时,令n=2m

则3^n+1=3^（2m）+1

=9^m+1

因为9的任何次方除以8皆余1,

所以3^n+1除以8余2,不能被8整除.

所以k≥3时,不存在这样的n

综上所述,最大的整数k=2