设 kη+k1(η+ξ1)+k2(η+ξ2)+...+kr(η+ξr) = 0
则 (k+k1+k2+...+kr)η + k1ξ1+k2ξ2+...+krξr = 0
等式两边左乘A,由ξ1,ξ2,...,ξt是线性方程Ax=0的解,得
(k+k1+k2+...+kr)Aη=0
因为 η不是Ax=0的解向量,所以 Aη!=0,
故 k+k1+k2+...+kr = 0.
所以 k1ξ1+k2ξ2+...+krξr = 0.
再由 ξ1,ξ2,...,ξt 线性无关 (是基础解系)
故 k1=k2=...=kr=0.
所以由k+k1+k2+...+kr = 0 得 k = 0.
所以 η,η+ξ1,η+ξ2.η+ξr线性无关.