解题思路:(1)直接将η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2代入到Ax=b即可;(2)写出η0,η1,η2线性的组合,然后利用解向量的定义和ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系,即可证明.
证明:(1)由于Aη0=b,Aξ1=Aξ2=0,因此
Aηi=Aη0+Aξi=b+0=b(i=1,2)
∴η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b的解
(2)设k1η0+k2η1+k3η2=0,则
(k1+k2+k3)η0+k2ξ1+k3ξ2=0
等式两边左乘A得
(k1+k2+k3)b+0+0=0
由b≠0,得
k1+k2+k3=0
∴k2ξ1+k3ξ2=0
再由ξ1,ξ2线性无关,得k2=k3=0.
∴k1=k2=k3=0
∴η0、η1、η2线性无关
点评:
本题考点: 非齐次线性方程组解的结构及通解的概念;向量组线性无关的判定与证明.
考点点评: 此题考查线性方程组解的结构和向量组线性无关的证明,都是基础知识点.