Question

设x0是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,α1,α2,...,αn-r是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系,证明

Answer 1

证明:(1) 显然 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 都是AX=b的解.

设 k0X0+k1(X0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)=0

则 (k0+k1+...+kn-r)x0+k1a1+...+kn-ran-r=0 (*)

等式两边左乘A,因为 Ax0=b,Aai=0

所以有 (k0+k1+...+kn-r)b=0.

因为b是非零向量,所以 k0+k1+...+kn-r=0

所以 (*) 式化为 k1a1+...+kn-ran-r=0.

又因为 α1,α2,...,αn-r 线性无关

所以 k1=k2=...=kn-r=0

进而有 k0=0

所以 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 线性无关

故 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 是方程组AX=b的n-r+1个线性无关的解向量

(2) 由线性方程组解的结构知,Ax=b的任一解可表示为

x0+k1α1+k2α2+...+kn-rαn-r

= (1-k1-k2-...-kn-r)x0+k1(x0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)

令 k0=1-k1-k2-...-kn-r

则 Ax=b的任一解可表示为 X=k0X0+k1(x0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)

其中 k0+k1+...+kn-r=1.(题目中没这个?)