证明 由于α1,α2,...αm是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,故α1,α2,...αm线性无关,反证法,假设α1+β,α2+β...,αm+β,β线性相关,则存在不全为零的数k1,k2,..,km,k使得
k1(α1+β)+ k2(α2+β)...+ km (αm+β)+kβ=0
k1α1+ k2α2+…+ kmαm+(k1+ k2+…+ km+k)β=0
显然k1+ k2+…+ km+k≠0,否则k1α1+ k2α2+…+ kmαm=0,这与α1,α2,...αm线性无关矛盾,将上式两边同时左乘A得
A(k1α1+ k2α2+…+ kmαm+(k1+ k2+…+ km+k)β)=0
(k1+ k2+…+ km+k)Aβ=0
由k1+ k2+…+ km+k≠0得Aβ=0,又Aβ=b,b=0,矛盾.