Question

非齐次线性方程组解的问题设AX=b为n元线性方程组,其导出组为AX=0,r(A)=r,η是AX=b的一个解,ζ1、 ζ2

Answer 1

证明:设 kη+k1ζ1+k2ζ2+...+kn-rζn-r = 0

等式两边左乘A,由 Aη=b,Aζi = 0 得

kb = 0.

因为 AX=b 是非齐次线性方程组,故 b≠0

所以 k = 0.

所以 k1ζ1+k2ζ2+...+kn-rζn-r = 0

由 ζ1、 ζ2、.ζn-r 是AX=0的一个基础解系

所以 k1=k2=...=kn-r = 0.

所以 k=k1=k2=...=kn-r = 0.

所以 η,ζ1,ζ2,...,ζn-r线性无关.

设ξ是 AX=b 的任一解

则ξ可表示为η,ζ1,ζ2,...,ζn-r的线性组合

ξ=η+k1ζ1+k2ζ2+...+kn-rζn-r

所以 η,ζ1,ζ2,...,ζn-r 是 AX=b 的全部解的一个极大无关组.