已知二次函数y=ax^2+(b+1)x+(b-1),若存在x0∈R,是关于x的方程ax^2+(b+1)x+(b-1)=x

2个回答

  • 对任意实数b,该二次函数恒有两个相异的不动点

    即方程ax^2+(b+1)x+(b-1)=x恒有2个不等的实数根

    也就是对于方程ax^2+bx+(b-1)=0

    △=b^2-4a(b-1)>0对一切实数b成立

    整理有4a(b-1)<b^2

    将b分类

    i)b-1>0,a<b^2/4(b-1)

    令b-1=t,则不等式右侧化为(t+1/t+2)/4

    因为t>0,由均值不等式(基本不等式2)可知

    t+1/t+2≥2+2=4,所以b^2/4(b-1)≥1

    又a<b^2/4(b-1)对一切b-1>0成立,所以a要小于b^2/4(b-1)最小值1

    ∴b-1>0,a<1

    ii)b-1=0,b=1

    得到恒等式0<1

    ∴b-1=0,a取一切实数

    iii)b-1<0,a>b^2/4(b-1)

    当b-1<0时,b^2/4(b-1)≤-1(原因略,参考均值不等式/双钩函数)

    又a>b^2/4(b-1)对一切b-1<0成立,所以a要大于b^2/4(b-1)最大值-1

    ∴b-1<0,a>1

    综上,将三种情况合并,可知对任意实数b,该二次函数恒有两个相异的不动点,a的取值范围是(-1,1)