Question

已知线段AB的端点B在圆C1：x2+（y-4）2=16上运动，端点A的坐标为（4，0），线段AB中点为M，

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）设出M和B的坐标，由中点坐标公式把B的坐标用m的坐标表示，代入圆C₁的方程得答案；

（Ⅱ）求出圆C₁的圆心坐标和半径，求出圆心到直线CD的距离利用勾股定理得答案．

（Ⅰ）设M（x，y），B（x′，y′），

则由题意可得：

x＝

x′+4

2

y＝

y′

2，解得：

x′＝2x−4

y′＝2y，

∵点B在圆C₁：x²+（y-4）²=16上，

∴（x′）²+（y′-4）²=16，

∴（2x-4）²+（2y-4）²=16，即（x-2）²+（y-2）²=4．

∴轨迹C₂方程为（x-2）²+（y-2）²=4；

（Ⅱ）由方程组

(x−2)2+(y−2)2＝4

x2+(y−4)2＝16，解得直线CD的方程为x-y-1=0，

圆C₁的圆心C₁（0，4）到直线CD的距离为d＝

|−4−1|

2＝

5

2

2，

圆C₁的半径为4，

∴线段CD的长为|CD|＝2

42−(

5

2

2)2＝

14．

点评：

本题考点： 轨迹方程．

考点点评： 本题考查了代入法求圆的方程，考查了直线和圆的关系，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．