Question

f(x)在[-1,1]可导,在x=0二阶可导,f'(0）=0,f''（0）=4,求极限limx→0﹛f（x）-f[㏑﹙1

Answer 1

考虑到函数只有一阶可导,可先用中值定理

﹛f（x）-f[㏑﹙1+x﹚]﹜/x³

=f'(ξ)(x-ln(1+x))/x³

=f'(ξ)/ξ * ξ/x * (x-ln(1+x))/x²

其中ln(1+x)0)f'(ξ)/ξ=lim(ξ->0)f'(ξ)/ξ=f''(0)=4

lim (x-ln(1+x))/x²=lim (x-(x-(1/2)x²+o(x²))) / x² = 1/2

所以原式=1*4*1/2=2