解题思路:(Ⅰ)将已知的极限,根据洛必达法则化简,就可以求得f′(0)与f″(0)的值;(Ⅱ)先将所求极限中的变限积分利用换元法化简,再使用洛必达法则求解.
(Ⅰ)∵
lim
x→0
f(x)
1−cosx=A,且x→0时,1-cosx~[1/2x2
∴
lim
x→0
f(x)
1−cosx]=
lim
x→0
f(x)
1
2x2=A
即
lim
x→0
f(x)
x2=
1
2A…①
而f(x)在x=0处二阶可导
∴
lim
x→0f(x)=f(0)=0
且由洛必达法则,①式变为:
lim
x→0
f′(x)
2x=
lim
x→0
f″(x)
2=
1
2A
∴f'(0)=0,f''(0)=A
(Ⅱ)令u=x2-t2,则
∫x0tf(x2−t2)dt=[1/2
∫x20f(u)du
∴
lim
x→0
∫x0tf(x2−t2)dt
x6]=[1/2
lim
x→0
∫x20f(u)du
x6=
lim
x→0
xf(x2)
6x5]
=[1/6
lim
x→0
f(x2)
x4=
1
6
lim
t→0
f(t)
t2=
A
12].
点评:
本题考点: 积分上限函数及其求导;等价无穷小代换定理及其应用.
考点点评: 此题考查了洛必达法则的使用和变限积分函数的导数,是基础知识点的综合.