平面向量与三角形四心的公式

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  • 这是我整理的一些内容,希望对你有所帮助:

    【一些结论】:以下皆是向量

    1 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0

    2 若P是△ABC的垂心 PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积)

    3 若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边)

    4 若P是△ABC的外心 |PA|²=|PB|²=|PC|²

    (AP就表示AP向量 |AP|就是它的模)

    5 AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心

    6 AP=λ(AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心

    7 AP=λ(AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞)

    或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心

    8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点

    【以下是一些结论的有关证明】

    1.

    O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量

    充分性:

    已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量,

    延长CO交AB于D,根据向量加法得:

    OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得:

    a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,

    因为OD与OC共线,所以可设OD=kOC,

    上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,

    向量DA与DB共线,向量OC与向量DA、DB不共线,

    所以只能有:ka+kb+c=0,aDA+bDB=0向量,

    由aDA+bDB=0向量可知:DA与DB的长度之比为b/a,

    所以CD为∠ACB的平分线,同理可证其它的两条也是角平分线.

    必要性:

    已知O是三角形内心,

    设BO与AC相交于E,CO与AB相交于F,

    ∵O是内心

    ∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE

    过A作CO的平行线,与BO的延长线相交于N,过A作BO的平行线,与CO的延长线相交于M,

    所以四边形OMAN是平行四边形

    根据平行四边形法则,得

    向量OA

    =向量OM+向量ON

    =(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO

    =(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO

    =(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO

    ∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0

    2.

    已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)},

    求P点轨迹过三角形的垂心

    OP=OA+入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)},

    OP-OA=入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)},

    AP=入{(AB /|AB|^2*sin2B)+AC /(|AC|^2*sin2C)},

    AP•BC=入{(AB•BC /|AB|^2*sin2B)+AC•BC /(|AC|^2*sin2C)},

    AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180° -B) / (|AB|^2*sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|^2*sin2C)},

    AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|^2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|^2*2sinC cosC)},

    AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )},

    根据正弦定理得:|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC

    ∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0,

    即AP•BC=0,

    P点轨迹过三角形的垂心

    3.

    OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))

    OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))

    AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))

    AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线

    根据正弦定理:|AB|/sinC=|AC|/sinB,

    所以|AB|sinB=|AC|sinC,

    所以AP与AB+AC共线

    AB+AC过BC中点D,所以P点的轨迹也过中点D,

    ∴点P过三角形重心.

    4.

    OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)

    OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)

    AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)

    AP•BC=λ(AB•BC cosC/|AB|+AC•BC cosB/|AC|)

    =λ([|AB|•|BC|cos(180° -B)cosC/|AB|+|AC|•|BC| cosC cosB/|AC|]

    =λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]

    =0,

    所以向量AP与向量BC垂直,

    P点的轨迹过垂心.

    5.

    OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)

    OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)

    OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)

    AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)

    AB/|AB|、AC/|AC|各为AB、AC方向上的单位长度向量,

    向量AB与AC的单位向量的和向量,

    因为是单位向量,模长都相等,构成菱形,

    向量AB与AC的单位向量的和向量为菱形对角线,

    易知是角平分线,所以P点的轨迹经过内心.