凸集的条件应该不是本质的,重要的是与闭球同胚.
实际上,若拓扑空间X同胚于n维闭单位球,映射f:X → X连续,则f在X中存在不动点.
证明:设φ:X → D是X到n维闭单位球的同胚映射,ψ:D → X为其逆映射 (也是同胚映射).
由f:X → X连续,可知g = φ·f·ψ:D → D连续.
根据Brouwer不动点定理,g在D中存在不动点,不妨设y ∈ D满足g(y) = y,即φ·f·ψ(y) = y.
由ψ为φ的逆映射,有ψ(y) = ψ·φ·f·ψ(y) = f(ψ(y)).
即x = ψ(y) ∈ X为f的不动点.