Question

证明半正定矩阵特征值非负如何证明 半正定矩阵的特征值>=0

Answer 1

对于实对称阵A,一定存在可逆阵P,使得

(P^T)AP=diag(a1,a2,...,an)

其中a1,a2,...,an为A的特征值.

对于任意列向量Y=[y1,y2,...,yn]^T,

做列向量X=PY.

由于A半正定,所以(X^T)AX>=0

[(PY)^T]A(PY)>=0

(Y^T)[(P^T)AP]Y>=0

a1*y1^2+a2*y2^2+...+an*yn^2>=0

由于列向量Y的任意性,

所以A的特征值a1,a2,...,an必须>=0