已知f(x)=8+2x-x²,若g(x)=f(2-x²),则g(x)的单调增区间为( ),单调减区间

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  • g(x)单调递增区间为:[-1,1];单调递减区间为:(-∞,-1),或(1,+∞)

    f(x)=8+2x-x²

    f(2-x²)=8+2(2-x²)- (2-x²)²

    =8+4-2x²-(4-4x²+x^4)

    =-x^4+2x² +8

    =g(x)

    若令x²=t,(t≥0)

    则g(x)= -t² + 2t +8

    =-(t²-2t) +8

    =-(t-1)² + 9

    显然,关于t的一元二次函数是一个开口向下的抛物线,

    其对称轴为t=-1,根据其函数图像可得,当t≤1时,f(t)为单调递增函数;

    当t≥1时,f(t)为单调递减函数.

    因为,t=x² ≥0,所以,0≤t≤1时,即0≤x² ≤1时,即-1≤x ≤1时,g(x)单调递增函数;

    同理,t≥1时,即x² ≥1时,即x≤-1,或x ≥1时,g(x)为单调递减函数.