Question

一个线性代数的题,设A是四阶非零矩阵,α1,α2,α3,α4是方程组Ax=b的四个不同的解,若α1,α2,α3,α4线性

Answer 1

证明: 由线性方程组解的性质知 α1-α2,α1-α3,α1-α4 是 Ax=0 的解.

设 k1(α1-α2)+k2(α1-α3)+k3(α1-α4) = 0

则 (k1+k2+k3)α1-k1α2-k2α3-k3α4=0

因为 α1,α2,α3,α4线性无关

所以 k1+k2+k3=k1=k2=k3=0

所以 α1-α2,α1-α3,α1-α4 线性无关

所以 α1-α2,α1-α3,α1-α4是齐次方程组Ax=0的三个线性无关的解

所以 n-r(A) = 4-r(A) >=3

所以 r(A)=1

所以 r(A)=1

所以 Ax=0 的基础解系含 4-r(A)=3个解向量

所以 α1-α2,α1-α3,α1-α4是齐次方程组Ax=0的基础解系.