此式相当于求和的个位数是多少.
1^1个位为1 ,1^n且每个均相同.
2^2个位为4,且每4个循环一次,即2^5的个位与2^1的个位相同.
3^3个位为7,且每4个循环一次.
4^4个位为6,且每2个循环一次,即4^1的个位与4^3的个位相同.
5^5个位为5,且每个均相同,即5^n的个位均为5
6^6个位为6,且每个均相同,即6^n的个位均为6
7^7个位为3,且每4个循环一次.
8^8个位为6,且每4个循环一次.
9^9个位为9,且每2个循环一次.
可知,对任意正整数,要么每隔十个数字个位均相同,即个位每个均相同可每2个循环的.
比如,1^1的个位同于11^11,4^4个位同于14^14.
要么每隔20个数字个位相同,即每4个循环一次.
比如,2^2与22^22的个位相同,12^12与32^32的个位相同,8^8与28^28的个位相同,等.
当然10任何正整数次方个位是零.
由于2000/20=100,所以,1^1~2000^2000的个位数之和相当于,
1^1~20^20的个位数之和的100倍,
且每过20次方个位数相同,所以
1的1次方+2的2次方+3的3次方+4的4次方.+2005的2005次的和的个位
=1^1+2^2+3^3+4^4+5^5的个位
=1+4+7+6+5=3
所以余数为3
2,用|| ||表示取末两位,比如||506||=6,||503^4||=||3^4||=81
||253^10×168^5||
=||253^10×（21×8）^5||
=||(253×2)^10×2^5×21^5||
=||506^10×2^5×21^5||
=||6^10×2^5×1||
=||6×216^3×2^5||
=||6×16^3×16×2||
=||6×56^2×2||
=||3×12^2||
=32