若函数f(x)=(a-1)(ax-a-x)(a>0且a≠1)在R上是增函数,则实数a的取值范围是______.

2个回答

  • 解题思路:求f′(x),根据已知条件知,f′(x)>0,这样便可得到关于a的不等式:(a-1)lna>0,解该不等式即得实数a的取值范围.还可根据指数函数的单调性及增函数的定义分a>1,和0<a<1去求a的取值范围即可.

    根据题意知:f′(x)=(a-1)lna(ax+a-x)>0;

    ∴(a-1)lna>0,解得a>1,或0<a<1;

    ∴实数a的取值范围是(0,1)∪(1,+∞).

    方法2:设x1,x2∈R,且x1<x2,根据f(x)在R上是增函数得:

    f(x1)−f(x2)=(a−1)(ax1−ax2+

    1

    ax2−

    1

    ax1)=(a−1)(ax1−ax2)(1+

    1

    ax1ax2)<0;

    ∴(a−1)(ax1−ax2)<0;

    若a>1,由x1<x2得ax1<ax2,所以能得到(a-1)(ax1−ax2)<0;

    若0<a<1,则ax1>ax2,所以能得到(a-1)(ax1−ax2)<0;

    ∴综上得a的取值范围是(0,1)∪(1,+∞).

    故答案为:(0,1)∪(1,+∞).

    点评:

    本题考点: 指数函数单调性的应用.

    考点点评: 考查函数单调性和函数导数符号的关系,而对f(x)正确求导是求解本题的关键,以及指数函数的单调性及单调性的定义.