Question

设f（x）在（0，+∞）内一阶连续可微，且对∀x∈（0，+∞）满足x∫10f（xt）dt=2∫x0f（t）dt+xf（x

Answer 1

解题思路：将分方程转化后，再求导是一阶非齐次线性微分方程，根据公式y=e^{-∫P（x）dx}（∫Q（x）e^{∫P（x）dx}dx+C）即可求解出来．

令u=xt，则原方程变为

∫x0f(u)du＝2

∫x0f(t)dt+xf(x)+x3，

两边对x求导得

f（x）=2f（x）+f（x）+xf'（x）+3x²，

整理得f′(x)+

2

xf(x)＝−3x．

这是一阶非齐次线性微分方程，其中P(x)＝

2

x，Q（x）=3x

由f（x）=e^{-∫P（x）dx}（∫Q（x）e^{∫P（x）dx}dx+C）

求得微分方程的通解为f(x)＝

C

x2−

3

4x2．

由f（1）=0，得C＝

3

4，

所以f(x)＝

3

4x2−

3

4x2．

点评：

本题考点： 一阶线性微分方程的求解；求解微分方程．

考点点评： 此题考查了变限积分函数的导数以及一阶非齐次线性微分方程的解法，这些都是基础知识点，要熟练掌握．