Question

已知k∈R，函数f（x）=ax+k•bx（a＞0且a≠1，b＞0且b≠1）．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）当ab=1时，b=a^-1，f（x）=a^x+k•a^-x，f（-x）=a^-x+k•a^x，利用奇偶函数的定义可求得k值；

（Ⅱ）当

a＝4，b＝

1

2

时求出f′（x），分k≤0，k＞0两种情况进行讨论，解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可得到函数单调区间；

（Ⅰ）当ab=1时，b=a^-1，f（x）=a^x+k•a^-x，f（-x）=a^-x+k•a^x，

①若函数f（x）为奇函数，则f（x）=-f（-x），即a^x+k•a^-x=-（a^-x+k•a^x），

整理得，（k+1）（a^x+a^-x）=0，得k=-1；

②若函数f（x）为偶函数，则f（x）=f（-x），即a^x+k•a^-x=a^-x+k•a^x，

整理得，（k-1）（a^-x-a^x）=0，得k=1．

（Ⅱ）当a＝4，b＝

1

2时，f(x)＝4x+k•(

1

2)x，f′(x)＝4xln4+k(

1

2)xln

1

2=ln2[2•4^x-k(

1

2)x]，

①当k≤0时，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（-∞，+∞）递增；

②当k＞0时，若f'（x）＞0，则2•4x−k(

1

2)x＞0，解得x＞

log2k−1

3；

若f'（x）＜0，则2•4x−k(

1

2)x＜0，解得x＜

log2k−1

3；

∴f（x）的增区间为(

log2k−1

3，+∞)，减区间为(−∞，

log2k−1

3)，

综上：k≤0时，f（x）在（-∞，+∞）递增；k＞0时，减区间为(−∞，

log2k−1

3)，增区间为(

log2k−1

3，+∞)．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题考查函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想，属中档题，定义是解决函数奇偶性的常用方法，导数是研究函数的有力工具，要熟练应用．