Question

已知奇函数f（x）=ax-（k+1）a-x（a＞0且a≠1）的定义域为R．

Answer 1

解题思路：（1）根据函数奇偶性的定义和性质，利用f（0）=0，即可求实数k的值；

（2）由f（1）=1，求出a的值，然后根据不等式g（x）＞0在[1，+∞）恒成立，转化为求函数的最值即可得到结论．

解（1）∵f（x）为奇函数，且定义域为R，

∴f（0）=0，

即a⁰-（k-1）a⁰=0，

解得k=0；

（2）∵f（1）=1，

∴a−

1

a＝1，解得a＝

1±

5

2（舍去负的），

∵g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）=（a^x-a^-x）²-2m（a^x-a^-x）+2，

∴令t=a^x-a^-x，

∵x≥1，

∴t≥f（1）=1，

令h（t）=t²-2mt+2（t≥1），

若m≥1，当则t=m时，h(t)min＝2−m2＞0，解得1≤m＜

2；

若m＜1，当t=1时，h（t）_min=3-2m＞0，解得m＜1，；

综上可知m＜

2．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及根据指数函数的性质解决不等式恒成立问题，考查学生的计算能力．