设函数f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数.

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  • 解题思路:(1)根据奇函数的性质可得f(0)=0,由此求得k值.

    (2)由f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1),f(1)<0,求得1>a>0,f(x)在R上单调递减,不等式化为f(x2+tx)<f(x-4),即 x2+(t-1)x+4>0 恒成立,由<0求得t的取值范围.

    (3)由f(1)=[3/2]求得a的值,可得 g(x)的解析式,令t=f(x)=2x-2-x,可知f(x)=2x-2-x为增函数,t≥f(1),令h(t)=t2-2mt+2,(t≥[3/2]),分类讨论求出h(t)的最小值,再由最小值等于2,求得m的值.

    (1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0,…(2分)

    ∴1-(k-1)=0,∴k=2.…(4分)

    (2)∵函数f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1),

    ∵f(1)<0,∴a-[1/a]<0,又 a>0,

    ∴1>a>0.…(6分)

    由于y=ax单调递减,y=a-x单调递增,故f(x)在R上单调递减.

    不等式化为f(x2+tx)<f(x-4).

    ∴x2+tx>x-4,即 x2+(t-1)x+4>0 恒成立,…(8分)

    ∴△=(t-1)2-16<0,解得-3<t<5.…(10分)

    (3)∵f(1)=[3/2],a-[1/a]=[3/2],即2a2-3a-2=0,∴a=2,或 a=-[1/2](舍去).…(12分)

    ∴g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=(2x-2-x2-2m(2x-2-x)+2.

    令t=f(x)=2x-2-x,由(1)可知k=2,故f(x)=2x-2-x ,显然是增函数.

    ∵x≥1,∴t≥f(1)=[3/2],

    令h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2(t≥[3/2])…(15分)

    若m≥[3/2],当t=m时,h(t)min=2-m2=-2,∴m=2…(16分)

    若m<[3/2],当t=[3/2]时,h(t)min=[17/4]-3m=-2,解得m=[25/12]>[3/2],舍去…(17分)

    综上可知m=2.…(18分)

    点评:

    本题考点: 指数函数综合题;函数奇偶性的性质.

    考点点评: 本题主要考查指数型复合函数的性质以及应用,函数的奇偶性的应用,以及函数的恒成立问题,属于中档题.