Question

设函数f（x）=ax-（k-1）a-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）根据函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数，直接由f（0）=0求得k的值；

（Ⅱ）把（Ⅰ）求得的k的值代入函数解析式，判断其单调性，然后利用函数的单调性把不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0转化为关于x的一元二次不等式，利用判别式小于0求得t的取值范围；

（Ⅲ）由f（1）=[3/2]求得a的值，化简函数g（x），令t=f（x）=2^x-2^-x换元，利用函数的单调性求得t的范围，然后对m分类求得答案．

（Ⅰ）∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，

∴1-（k-1）=0，∴k=2，

经检验知：k=2满足题意；

（Ⅱ）f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），

∵f（1）＜0，∴a−

1

a＜0，

又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，

∵a^x单调递减，a^-x单调递增，故函数f（x）在R上单调递减．

不等式化为f（x²+tx）＜f（x-4），

∴x²+tx＞x-4，即x²+（t-1）x+4＞0恒成立，

∴△=（t-1）²-16＜0，解得-3＜t＜5．

（Ⅲ）∵f(1)＝

3

2，

∴a−

1

a＝

3

2，即2a²-3a-2=0，

∴a=2或a=−

1

2（舍去）．

∴g（x）=a^2x+a^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．

令t=f（x）=2^x-2^-x，

由（Ⅰ）可知f（x）=2^x-2^-x为增函数，

∵x≥1，∴t≥f（1）=[3/2]，

令h(t)＝t2−2m+2＝(t−m)2+2−m2(t≥

3

2)，

若m≥

3

2，当t=m时，h(t)min＝2−m2＝−2，∴m=2；

若m＜

3

2，当t=[3/2]时，h(t)min＝

17

4−3m＝−2，解得m＝

25

12＞

3

2，故舍去．

综上可知m=2．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题；函数与方程的综合运用．

考点点评： 本题考查了函数恒成立问题，考查了函数的性质及其应用，考查了数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题．