解题思路:首先将随机变量X的分布函数写出来,然后根据分布函数的定义将Y=X2在(0,4)内概率分布密度fY(y)求出来即可.
∵随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,
∴X的概率密度函数:fX(x)=
1
2,0<x<2
0其它,
从而Y=X2的分布函数:
FY(y)=P(Y<y)=P(X2<y).
①当y≤0时,FY(y)=P(∅)=0,
②当0<y<4时,y)=
∫
y0
1
2dy=
y
2,
③当y≥4时,FY(y)=1,
∴Y=X2在(0,4)内的概率分布密度:
fY(y)=
dFY(y)
dy=(
y
2)′=
1
4
y.
点评:
本题考点: 分布函数的性质;二维均匀分布的概率密度.
考点点评: 此题考查随机变量函数的分布函数的求法,常常需要先建立两个随机变量的分布函数之间的关系,再求解.