设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量Y=X2在(0,4)内的概率分布密度fY(y)=______.

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  • 解题思路:首先将随机变量X的分布函数写出来,然后根据分布函数的定义将Y=X2在(0,4)内概率分布密度fY(y)求出来即可.

    ∵随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,

    ∴X的概率密度函数:fX(x)=

    1

    2,0<x<2

    0其它,

    从而Y=X2的分布函数:

    FY(y)=P(Y<y)=P(X2<y).

    ①当y≤0时,FY(y)=P(∅)=0,

    ②当0<y<4时,y)=

    y0

    1

    2dy=

    y

    2,

    ③当y≥4时,FY(y)=1,

    ∴Y=X2在(0,4)内的概率分布密度:

    fY(y)=

    dFY(y)

    dy=(

    y

    2)′=

    1

    4

    y.

    点评:

    本题考点: 分布函数的性质;二维均匀分布的概率密度.

    考点点评: 此题考查随机变量函数的分布函数的求法,常常需要先建立两个随机变量的分布函数之间的关系,再求解.