Question

已知f（x）=ax-2-lnx（a∈R），当x＞0时，求证f（x）-ax+ex＞0．

Answer 1

解题思路：构造g（x）=e^x-2-lnx，两次对g（x）求导，再令h（x）=g′（x）=0，令x=m（0＜m＜1），h（x）=0，即e^m=[1/m]，-m=lnm，再讨论0＜x＜m，x＞m，g（x）的单调性，得到g（x）＞g（m），由基本不等式证明g（m）＞0即可．

证明：∵f（x）=ax-2-lnx（x＞0），

∴令g（x）=f（x）-ax+e^x=e^x-2-lnx，

∵g′（x）=e^x-[1/x]，

令h（x）=g′（x），则h′（x）=e^x+

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x2＞0，

∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，

令x=m（0＜m＜1），h（x）=0，即e^m=[1/m]，-m=lnm，

当0＜x＜m时，h（x）＜0，则g（x）在（0，m）上递减，g（x）＞g（m）=e^m-2-lnm=[1/m]+m-2＞2-2，

即g（x）＞0；

当x＞m时，h（x）＞0，则g（x）在（m，+∞）上递增，g（x）＞g（m）=[1/m]+m-2＞2-2，

即g（x）＞0．

故当x＞0时，f（x）-ax+e^x＞0．

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查导数的应用：判断函数的单调性，以及构造函数的思想，考查函数的单调性和应用，属于中档题．