Question

设函数f（x）对任意的实数x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＜0时，f（x）＜0，f（-1）=-2．

Answer 1

解题思路：（1）采用赋值法，令令x=y=0得f（0）=0，再令令y=-x即可；

（2）可先利用单调性的定义判断f（x）在-2≤x≤2时的单调性，再求最值．

（1）证明：依题意 令x=y=0得f（0）=0，

令y=-x得 f（0）=f（x）+f（-x），

∴f（-x）=-f（x），

∴f（x）是奇函数；

（2）有最大值4，最小值-4．理由如下：

设-2≤x₁＜x₂≤2，则x₁-x₂＜0，有已知可得f（x₁-x₂）＜0

∵f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）＜0

∴f（x₁）＜f（x₂），

∴f（x）在区间[-2，2]上是增函数．

又∵f（-2）=2f（-1）=-4，f（2）=-f（-2）=4

∴当-2≤x≤2时，f（x）_max=f（2）=4，f（x）_min=f（-2）=-4．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的奇偶性及单调性的概念及其应用，属于中档题．