Question

已知函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（-1）=-2．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）直接利用定义证明函数f（x）在R上是增函数即可；

（Ⅱ）利用赋值法，求出f（0）=0，判断函数是奇函数，然后求解f（x）在[-2，1]上的值域．

（Ⅰ）设x₁＜x₂且x₁，x₂∈R，则x₂-x₁＞0，

由条件当x＞0时，f（x）＞0∴f（x₂-x₁）＞0．

又f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）＞f（x₁）

即f（x₁）＜f（x₂）．

∴f（x）为增函数，

（Ⅱ）令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）．

又令x=y=0得f（0）=0．

∴f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．

∵f（-1）=-f（1）=-2，f（-2）=2f（-1）=-4，

∴f（x）在[-2，1]上的值域为[-4，2]．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用；函数的概念及其构成要素；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查函数的单调性的应用，抽象函数的应用，考查基本知识的应用．