Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，函数f（x）=[2x−1/x+1]，an=log2f(n+1)f(n)，则S2013=

Answer 1

解题思路：利用递推数列的通项公式可得a_n=log₂

f(n+1)

f(n)

=log₂f（n+1）-log₂f（n），累加求和．逆用对数的运算性质即可求得答案．

∵n≥1，n∈N，∴f（n）=[2n−1/n+1]=2-[3/n+1]≥[1/2]＞0，

∴a_n=log₂

f(n+1)

f(n)=log₂f（n+1）-log₂f（n），

∴S₂₀₁₃=a₁+a₂+…+a₂₀₁₃

=[log₂f（2）-log₂f（1）]+[log₂f（3）-log₂f（2）]+…+[log₂f（2014）-log₂f（2013）]

=[log₂f（2014）-log₂f（1）]

=log2(

2×2014−1

2014+1)-log2(

2×1−1

1+1)

=log2(

4027

2015)+1．

故答案为：log2(

4027

2015)+1．

点评：

本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的求和，着重考查递推关系的应用，求得an=log2f(n+1)f(n)=log2f（n+1）-log2f（n）是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．