Question

离散型随机变量x的概率分布如下求该随机变量的数学期望 P{x=i}=2a^i,i=1,2. 请把详细步骤写出谢谢1

Answer 1

由分布列的性质,

Σ{i=1→∞} 2a^i = 2*[a/(1-a)]=1

解得 a=1/3

EX= Σ{i=1→∞} i*2*(1/3)^i = 2*Σ{i=1→∞} i*(1/3)^i;

为求上面的和,需要利用幂级数的求和方法：

Σ{i=1→∞} i*x^i

= Σ{i=1→∞} (i+1)*x^i - Σ{i=1→∞} x^i

而

Σ{i=1→∞} (i+1)*x^i = Σ{i=1→∞} [ x^(i+1)]'

=[Σ{i=1→∞} x^(i+1)]'=[x^2/(1-x)]'

=(2x-x^2) / (1-x)^2

又

Σ{i=1→∞} x^i =x/(1-x)

所以

Σ{i=1→∞} i*x^i

= Σ{i=1→∞} (i+1)*x^i - Σ{i=1→∞} x^i

=(2x-x^2) / (1-x)^2 - x/(1-x)

=x/(1-x)^2

将x=1/3代入

EX=2Σ{i=1→∞} i*(1/3)^i;

=2*(1/3) / [(1-(1/3)]^2

=3/2