Question

设A为n阶实对称矩阵，证明：秩（A）=n的充分必要条件为存在一个n阶实矩阵B，使AB+BTA是正定矩阵．

Answer 1

解题思路：充分性：利用反证法进行证明；必要性：证明AB+B^TA的特征值均大于0．

“必要性”（⇐）

利用反证法进行证明．

反设：r（A）＜n，则|A|=0．

于是λ=0是A的特征值，

假设相应的特征向量为x，即：Ax=0（x≠0），

所以：x^TA^T=0．

从而：x^T（AB+B^TA）x=x^TABx+x^TB^TAx=0，

与AB+B^TA是正定矩阵矛盾，故假设不成立．

所以，秩（A）=n．

“充分性”（⇒）

因为 r（A）=n，

所以A的特征值λ₁，λ₂，…，λ_n全不为0．

取矩阵B=A，则：AB+B^TA=AA+AA=2A²，

它的特征值为：2λ12，2λ22，…，2λn2全部为正，

所以AB+B^TA是正定矩阵．

点评：

本题考点： 判断正定的充要条件；实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．

考点点评： 本题考查了判断正定的充要条件．常用的判断实对称矩阵A正定的充要条件有两个：（1）正定矩阵的定义，即对于任意的非零向量x，都有xTAx＞0；（2）其特征值均为正．该题的证明中利用了上述两个充要条件．