(1)∵f(x)=alnx+bx,∴f′(x)=[a/x+b.
∵直线x-2y-2=0的斜率为
1
2],且曲线y=f(x)过点(1,-[1/2]),
∴
f(1)=?
1
2
f′(1)=
1
2,即
b=?
1
2
a+b=
1
2,解得a=1,b=-[1/2].
所以 f(x)=lnx-[x/2].
(2)由(1)得当x>1时,f(x)+[k/x]<0恒成立即 lnx-[x/2]+
k
x<0,
等价于k<
x2
2?xlnx.
令g(x)=
x2
2?xlnx,则g′(x)=x-(lnx+1)=x-1-lnx.
令h(x)=x-1-lnx,则h′(x)=1-[1/x]=[x?1/x].
当x>1时,h′(x)>0,函数h(x)在(1,+∞)上单调递增,故h(x)>h(1)=0.
从而,当x>1时,g′(x)>0,即函数g(x)在(1,+∞)上单调递增,
故g(x)>g(1)=[1/2].
因此,当x>1时,k<
x2
2?xlnx.恒成立,则k≤
1
2.
∴k的取值范围是(-∞,[1/2]].
(3)证明:由(2)知,当x>1时,f(x)<0(k=0),
又 x=1时f(x)<0也成立,
所以当x≥1时,lnx<[x/2],于是
ln1<
1
2,ln2<[2/2],ln3<[3/2],…,lnn<[n/2],
上述各式相加得,ln(1×2×3×…×n)<[1+2+3+…+n/2],
即lnn!<
n(n+1)
4,∴n!<e
n(n+1)
4.